クアンタマガジン

Oct 08, 2023

2023 年 6 月 21 日

サミュエル・ベラスコ/クアンタ・マガジン

寄稿者

2023 年 6 月 21 日

2021年秋の土曜日の午後、シルビオ・デクルティンスは、「プラトンの立方体と断片化の自然幾何学」という、数学に興味のある十代の若者向けの漫画本から抜粋したようなタイトルの論文をめくっていた。

彼の目を引いたのは珍しいタイトルではなく、3 ページ目の写真でした。ひび割れた永久凍土から地球のプレートに至るまで、あらゆるスケールの地質学的パターンです。 ベルン大学の化学者であるデカーティンスは、研究していた物質のことを思い出しました。 「ああ！ 柄もあるよ！」 彼は考えた。 「それは単に規模の問題です。」

デカーチンのパターンは、地球の亀裂によって形成されたのではなく、分子によって形成されました。それらは、わずか 1 分子の厚さのシートに分子をモザイク状に敷き詰めたものでした。 これらの 2D マテリアルは、分子の構成要素がどのように配置されているかに応じて、独特で実用的な特性を持つことがあります。

たとえば、電子を計算ビットとして使用したり、データを保存したりする 2D パターンに分子を配置することが可能です。 ギャップのあるパターンは膜として機能します。 また、金属イオンを含むパターンは強力な触媒となる可能性があります。

これらの 2D マテリアルを原子ごとに構築することは可能ですが、そうすることは高価で難しく、時間がかかります。 Decurtins 氏とその同僚を含む非常に多くの科学者は、自ら集合する材料を設計したいと考えています。 ミュンヘン工科大学の物理学者、ヨハネス・バルト氏は、分子がどのように自己集合して2Dシートになるかを予測することは、材料科学の大きな課題の1つであると述べた。

それは、自然が分子設計哲学を特に積極的に示していないからです。 自己組織化の予測はスーパーコンピューターの仕事であり、必要な重量プログラムの実行には数日から数週間かかる場合があります。

そこでデカーティンス氏は、この研究の筆頭著者でブダペスト工科経済大学の数学者であるガボール・ドモコス氏に連絡を取った。 デカーティンズは、惑星がどのように壊れるかを説明するのと同じ幾何学が、分子がどのように組み立てられるかを説明できるのではないかと考えました。

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ブダペスト工科経済大学の数学者ガボール・ドモコス氏は、幾何学を使用してあらゆるスケールの地質パターンを記述しました。

ガボール・ドモコス氏の厚意による

翌年、ドモコスと彼の同僚は、幾何学的思考を使用して分子の自己集合の法則を解き明かし、テッセレーションの単純な幾何学のみを使用して、分子が形成できるモザイクを制約する新しい方法を考案しました。

「最初、彼らはあなたにそれができるとは信じていませんでした」とドモコス氏は言う。 「彼らは人工知能、スーパーコンピューティング、そしてこの種のジャズをやっていました。 そして今、彼らは公式を見ているだけです。 そしてこれはとてもリラックスできるんです。」

Decurtins から連絡があった後、Domokos はそのアイデアを大学院生の Krisztina Regős に売り込もうとしました。 デカーティンスは、強力な顕微鏡の目を通して見た、原子スケールのパターンを描いた数枚の画像（同僚のシーシア・リウが設計・合成した分子のタイル）を送っていた。 ドモコスは、レグシュスが地質学的亀裂を記述するために独自に開発した幾何学を使用して、デクルティンスの画像のパターンを特徴付けることができるかどうかを確認したいと考えました。

まず、Regős は 2D マテリアルを単純な多角形のテッセレーション、つまり隙間なくフィットし、無限に繰り返されるパターンとして扱いました。 次に、Domokos のアプローチに従い、パターンごとに 2 つの数値を計算しました。 1 つ目は、ポリゴンごとの頂点またはコーナーの平均数です。 2 番目は、各頂点を囲むポリゴンの平均数です。

これら 2 つの平均値を合わせると、パターンの GPS 座標のようなものになります。 それらは、可能なすべてのテッセレーションの風景内でその位置を示します。

この風景を象徴面と呼びます。 これは、X 軸に頂点ごとの平均シェイプ数、Y 軸にシェイプごとの平均頂点数を示す単純な 2D グリッドです。 各テッセレーションは、平面内の正確に 1 つの点にプロットされる必要があります。 たとえば、完璧なハニカム パターンは、各頂点 (記号平面の (3, 6) の点) で 3 つに交わる 6 つの尖った六角形のテッセレーションです。